БЕСПОЛЕЗНОСТЬ - Образовано добавлением приставки
бес- к прил.
полезный, далее от сущ.
польза, из др.-русск. польза (начиная с Остром.); ср.: русск.-церк.-слав.
пользевати «быть полезным» и пользовати, ст.-слав. польѕа, польза, полабск. рü᾽ölgа «польза». Из ро- и *lьgа; ср.
лёгкий. Ср. также: укр.
пíльга «
облегчение,
успокоение», ср. польск.
ulgа — то же. Ввиду отвердевшего характера -з- предполагают церк.-слав. влияние (ср.
нельзя).
Так что по любому однокоренное слово с разделительным "ь".